On fixe un entier $ n \geqslant 2 $.
  1. Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que la fonction \[ \begin{align*} f_{A,B} : \mathbb{K} &\longrightarrow \mathbb{K} \\ t &\longmapsto \det(A + tB) \end{align*} \] est une fonction polynomiale.
    Montrer de plus que le degré de $ f_{A,B} $ est majoré par le rang de $ B $ et que le degré de $ f_{A,B} $ vaut $ n $ si $ B $ est inversible.
  2. On note $ J $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients valent 1.
    1. Calculer le déterminant de la matrice : \[ \begin{pmatrix} x + a_1 & x & \cdots & x \\ x & x + a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & x \\ x & \cdots & x & x + a_n \end{pmatrix} \]
    2. On prend $ \alpha $ et $ \beta $ distincts dans $ \mathbb{K} $ et on prend : \[ A = \begin{pmatrix} \gamma_1 & \beta & \cdots & \beta \\ \alpha & \gamma_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \beta \\ \alpha & \cdots & \alpha & \gamma_n \end{pmatrix} \] Exprimer la fonction $ f_{A,J} $ et en déduire une expression du déterminant de $ A $.
  3. On considère quatre matrices $ A, B, C, D $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ et on pose $ M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $. On suppose que $ A $ et $ C $ commutent.
    1. On suppose dans cette question que $ A $ est inversible. Montrer l'égalité $ \det(M) = \det(AD - CB) $.
    2. Montrer cette égalité dans le cas où $ A $ n'est pas nécessairement inversible. On pourra pour cela introduire la fonction de $ \mathbb{K} $ dans $ \mathbb{K} $ qui à $ \lambda $ associe le déterminant de la matrice $ M_\lambda = \begin{pmatrix} A - \lambda I_n & B \\ C & D \end{pmatrix} $.
    3. Quelle formule obtient-on si $ A $ est inversible mais ne commute pas avec $ C $ ?
  4. Pour toute matrice $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $, justifier l'égalité $ \det(\overline{M}) = \overline{\det M} $.