Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x \in ]0, +\infty[$ : $$(E_n) : \quad \sum_{k=1}^{n} x^k = 1$$
  1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$.
  2. Montrer que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est monotone convergente.
  3. Transformer $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x^k$ lorsque $x \neq 1$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n$.