Soit $H$ une partie finie non-vide de $GL(n, \mathbb{R})$ stable par multiplication.
  1. Soit $M \in H$. Montrer que la suite $k \mapsto M^k$ n'est pas injective. En déduire que $H$ est un sous-groupe de $GL(n, \mathbb{R})$.
  2. Soit $q = \text{Card}(H)$ et $P = \frac{1}{q} \sum_{M \in H} M$. Montrer que pour tout $M \in H$, $MP = PM = P$. En déduire que $P^2 = P$.
  3. Trouver un supplémentaire dans $\mathbb{R}^n$ de $\bigcap_{M \in H} \ker(M - I_n)$ stable par tous les éléments de $H$.