Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites réelles définies par $(u_0, v_0) \in ]0, +\infty[^2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \qquad v_{n+1} = \frac{2u_n v_n}{u_n + v_n}$$

Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers une même limite que l'on déterminera.