Intégrale paramétrée \(I(a)\)

Soit \(a>0\). On considĂšre l’intĂ©grale gĂ©nĂ©ralisĂ©e :

\[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2 + \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}. \]
  1. Justifier l’existence de \(I(a)\).
  2. En commençant par effectuer le changement de variable \(t = \frac{1}{x}\), montrer que \[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx}{a^2 + \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}. \]
  3. En déduire que \[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{\pi}{2a}. \]