On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}$$
  1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes. On note $\ell$ leur limite commune.
  2. Soit $q \in \mathbb{N}^*$. Vérifier que $0 < q!(\ell - u_q) < \dfrac{1}{q}$. En déduire que $\ell$ est irrationnel.
  3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Vérifier en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral que : $$e = u_n + \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!}\,e^t\,dt$$ En déduire que $\ell = e$.