On fixe $ (a, b) $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $, on pose \[ u_n = \ln(n) + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2) \]

1. Obtenir un développement asymptotique de $ u_n $ avec la précision $ \mathcal{O}(1/n^2) $.
2. En déduire qu'il existe un unique choix de $ (a, b) $ pour lequel la série de terme général $ u_n $ est convergente et préciser ce choix.
3. Pour ce choix particulier de $ (a, b) $, calculer la somme $ \sum_{n=1}^{+\infty} u_n $.