On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous les autres coefficients valent $ b $.
  1. On pose $ J = \frac{1}{n}M(1,1) $. Trouver un polynĂŽme annulateur de $ J $.
  2. Soit $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $. Écrire la matrice $ M(a,b) $ comme polynĂŽme en $ J $. En dĂ©duire le calcul des puissances $ M(a,b)^p $.
  3. Montrer que l'ensemble $ \mathcal{M} = \{ M(x,y) ; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \} $ est stable par produit.