Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2}$$
  1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
  2. Soit $x > 0$. Pour tout $t \in \mathbb{R}^+$, on pose $f_x(t) = \dfrac{2x}{x^2 + t^2}$.
    1. VĂ©rifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$\int_n^{n+1} f_x(t)\,dt \leq \frac{2x}{x^2+n^2} \leq \int_{n-1}^{n} f_x(t)\,dt$$
    2. En déduire un encadrement de $f(x)$ et déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.