Convergence et calcul de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt\)

Soit \(x>0\). On pose

1. Justifier l’existence de \(f(x)\).
2. En utilisant le changement de variable \(u=\frac1t\), montrer que \[ f(x) = -\int_0^{+\infty} \frac{\ln u}{1+x^2u^2}\,du = -\frac{1}{x^2}f\left(\frac1x\right). \]
3. En déduire \(f(1)\), puis \(f(x)\) en utilisant le changement de variable \(v=xu\) dans l’intégrale \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln u}{1+x^2u^2}\,du\).