Comparaison de normes intégrales
Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $. Pour $ f \in E $, on note : \[ N(f) = \int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt \] et on rappelle que : \[ \|f\|_{1} = \int_{0}^{1} |f(t)|\,dt \]
  1. VĂ©rifier que $ N $ est une norme sur $ E $ et que, pour toute $ f \in E $, $ N(f) \le \|f\|_{1} $.
  2. Montrer que $ N $ et $ \| \cdot \|_{1} $ ne sont pas Ă©quivalentes.
    Indication : Considérer la fonction $ f_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ définie par : $ f_{n}(t) = n(1-nt) $ si $ t \in \left[0,\frac{1}{n}\right] $ et $ f_{n}(t) = 0 $ sinon.