Soient $n \ge 3$, et: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & & (0) & 1 \\ 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 1 & (0) & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$ Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement représenté par la matrice $A$.
  1. Montrer que $~\ker f \oplus \mathrm{Im} f = \mathbb{R}^n$
  2. en déduire que la matrice $~A~$ est semblable à une matrice de la forme \[ \begin{pmatrix} 0 & & & (0) \\ & \ddots & & \\ & & 0 & \\ (0) & & & B \end{pmatrix} \]
    3. avec $B \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$.
  3. Calculer $\mathrm{tr}(B)$ et $\mathrm{tr}(B^2)$. En déduire les valeurs propres de $B$ puis celles de $A$.
  4. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?