Calcul de \(I_n\)

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On pose

\[ I_n = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}. \]
  1. Justifier l’existence de \(I_n\).
  2. Soient \(a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R}\) tels que pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\), \[ \frac{1}{(x+1)\cdots(x+n)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{x+i}. \] Sans calculer les \(a_i\), montrer que \[ \sum_{i=1}^{n} a_i = 0. \]
  3. Calculer \(I_n\).