[Constante d'Euler]
  1. Justifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{1}{1+x} \leq \ln(1+x) - \ln(x) \leq \frac{1}{x}$$
  2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n) \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n+1)$$ Prouver que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.
    Remarque : la limite de la suite $(u_n)$, notée $\gamma$, est la «constante d'Euler». En posant $\varepsilon_n = u_n - \gamma$, on a donc : $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \gamma + \ln(n) + \varepsilon_n \quad \text{avec} \quad \lim_{n \to +\infty} \varepsilon_n = 0$$
  3. Applications.
    1. Déterminer un équivalent simple quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$.
    2. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$. Retrouver cette valeur en utilisant le cours sur les sommes de Riemann.
    3. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{k}$.