Soit $ f $ une application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ contractante, c'est-à-dire qu'il existe $ C \in [0, 1[ $ telle que: \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x) - f(y)| \le C|x - y| \] Soit $ a \in \mathbb{R} $. On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_0 = a \quad \text{et}\quad \forall n \in \mathbb{N}, ~u_{n+1} = f(u_n) \]

1. Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - u_n| \le C^n |u_1 - u_0| $.
2. En déduire que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ converge.