Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ : $$u_n(x) = n^\alpha \, x^n(1 - x)$$
  1. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $[0, 1]$.
  2. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $[0, 1]$.