On considère une fonction $ f $ définie sur $ ]0, +\infty[ $, à valeurs réelles, décroissante, convexe, de limite nulle en $ +\infty $. Le théorème des séries alternées permet alors de définir une suite réelle $ (r_n(f))_{n \in \mathbb{N}} $ par : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad r_n(f) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k f(k) \]
- Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, prouver l'égalité $|r_n(f)| = \sum_{p=0}^{+\infty} (f(n + 2p + 1) - f(n + 2p + 2)) $.
- En déduire que la suite de terme général $|r_n(f)|$ est décroissante.
- Montrer que la série $\sum_{n \ge 0} r_n(f)$ converge.
- Pour tout $\alpha > 0$, vérifier que la fonction $f_{\alpha} : t \mapsto t^{-\alpha}$ est convexe. Le reste $r_n(f_{\alpha})$ est noté $R_n(\alpha)$ dans la suite.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, simplifier $|R_n(\alpha)| + |R_{n-1}(\alpha)|$.
- En déduire un équivalent simple de $|R_n(\alpha)|$ quand $n$ tend vers $+\infty$.