Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
  1. Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mĂȘmes valeurs propres.
  2. Montrer que si l'une au moins des matrices $A,~B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ ont mĂȘme polynĂŽme caractĂ©ristique.
  3. Soit: \[M = \begin{pmatrix} BA & -B \\ (0) & (0) \end{pmatrix}\quad ; \quad N = \begin{pmatrix} (0) & -B \\ (0) & AB \end{pmatrix}\quad ; \quad P = \begin{pmatrix} I_n & (0) \\ A & I_n \end{pmatrix} \] Avec: $M, N, P $ sont des matrices de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$
    1. VĂ©rifier que $MP = PN$.
    2. montrer que $P$ est inversible, et conclure.