Normes sur un espace de fonctions de classe C²
Si $ u \in \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $, on pose : $ \|u\|_{\infty} = \max_{x \in [0,1]} |u(x)| $. On rappelle que $ \|\cdot\|_{\infty} $ est une norme sur $ \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $.Soit $ E = \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) $. Pour tout $ f \in E $, on pose : \[ N'(f) = |f(0)| + \|f'\|_{\infty} \] et \[ N''(f) = |f(0)| + |f'(0)| + \|f''\|_{\infty} \]
- Vérifier que $ N' $ et $ N'' $ sont des normes sur $ E $.
- Montrer que $ \forall f \in E $, $ \|f\|_{\infty} \le N'(f) \le N''(f) $.
- Pour tout $ n \in \mathbb{N}^{*} $, on considère $ f_{n} \in E $ définie par : $ \forall x \in [0,1] $, $ f_{n}(x) = \sin(\pi n x) $.
- Calculer $ \|f_{n}\|_{\infty} $, $ N'(f_{n}) $ et $ N''(f_{n}) $.
- En déduire que les normes $ \|\cdot\|_{\infty} $, $ N' $ et $ N'' $ sont deux à deux non équivalentes.