Étude d’une intégrale paramétrée

1. Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\) converge.
   On note désormais: \[f(x)=\int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\].
2. Prouver que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser \(f'(x)\).
3. Justifier que pour tout \(x\ge 1\), \(f(x)\le e^{-x}\). En déduire la convergence de \(\displaystyle I=\int_0^{+\infty} f(x)\,dx\).
4. Calculer \(I\).