- Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,dx$.
-
- Soit $x \in \mathbb{R}$. Déterminer une égalité simple reliant $f(2x)$, $f(x)$ et $\sin x$.
- Déduire de 3.a, en raisonnant par l'absurde, que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$
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