Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\). On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[ u_n = \sum_{k=0}^{n} f(k) - \int_0^n f(t)\,dt. \]VĂ©rifier que
\[ u_{n+1} - u_n = \int_n^{n+1} (t-n) f'(t)\,dt. \]En déduire que si \(f'\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_+\), alors la suite \((u_n)\) converge.