1. Soient $ E, F, G $ des $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ f \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ g \in \mathcal{L}(F, G) $.
    Démontrer l'égalité : \[ \dim(\text{Im}(f) \cap \text{Ker}(g)) = \text{rg}(f) - \text{rg}(g \circ f) \] Pour cela, on considérera la restriction de $ g $ à $ \text{Im}(f) $.
  2. Soit $ f $ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie $ E $.
    Montrer que la suite de terme général $ \rho_k = \text{rg}(f^k) - \text{rg}(f^{k+1}) $ est décroissante.
    Montrer de plus que les termes de cette suite sont nuls Ă  partir d'un certain rang $ p $.
  3. Montrer que $ F = \text{Ker}(f^p) $ et $ G = \text{Im}(f^p) $ sont supplémentaires dans $ E $.
  4. VĂ©rifier que $ F $ et $ G $ sont stables par $ f $.
  5. On note $ f_1 $ et $ f_2 $ les endomorphismes de $ F $ et de $ G $ induits par $ f $. Montrer que $ (f_1)^p $ est nul et que $ f_2 $ est bijectif.