Convergence avec paramètre

1. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{t^\alpha} \, dt \] converge.
2. Déterminer \(a \in \mathbb{R}\) pour que l’intégrale \[ \int_{0}^{1} \frac{1 - e^x + a \sin x}{x^2} \, dx \] soit convergente.
3. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{1} \frac{dt}{(\sqrt{t} - t^2)^\alpha} \] converge.
4. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}_+^*\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x \cdot \arctan x}{x^\alpha} \, dx \] converge.
5. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{t - \sin t}{t^\alpha} \, dt \] converge.
6. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(x + e^{-x})}{x^\alpha} \, dx \] converge.
7. Déterminer les réels \(\alpha\) pour lesquels \[ \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{(1 - x)^\alpha} \, dx \] converge.
8. Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Étudier la convergence de \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)}{(t^2 - 1)^\alpha} \, dt \] en fonction du paramètre \(\alpha\).
9. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\operatorname{ch} x - \cos x}{x^\alpha} \, dx \] converge.
10. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \left( e^{1/x} - \cos\sqrt{\frac{2}{x}} \right) \, dx \] converge.