Nombres de Fermat, de Mersenne et d'Euclide :
  1. Soit $2^n - 1$ un nombre premier. Montrer que $n$ est premier. (Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la particularité de leur développement en base 2 ?)
  2. On appelle nombre d'Euclide $e_n$ les nombres définis par récurrence par $e_1 = 2$ et $e_{n+1} = e_1 e_2 \cdots e_n + 1$. Montrer que deux nombres d'Euclide distincts sont premiers entre eux. En combien d'étapes l'algorithme d'Euclide appliqué à deux nombres d'Euclide termine-t-il ? En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
  3. Soit $2^n + 1$ un nombre premier. Montrer que $n$ est une puissance de 2. On appelle nombre de Fermat $F_n$ les nombres de la forme $2^{2^n} + 1$. Montrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.