Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On rappelle que $\mathbb{C}[M]$ désigne l'algèbre des polynômes en $M$.
  1. Caractériser les inversibles de l'anneau $\mathbb{C}[M]$.
  2. Caractériser les diviseurs de zéro de $\mathbb{C}[M]$. (Un diviseur de 0 d'un anneau commutatif $A$ est un élément non nul $a$ pour lequel il existe $b \in A \setminus \{0\}$ tel que $ab = 0$.)
  3. Caractériser les éléments nilpotents de $\mathbb{C}[M]$.