On munit $E = \mathbb{R}^n$ de son produit scalaire usuel et $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$. On suppose qu'il existe $k \in ]0, 2[$ tel que toute matrice $M$ de $G$ vérifie $|||M - I_n||| < k$.
  1. Montrer que toute valeur propre complexe de $M$ est de module 1.
  2. Montrer qu'il existe un entier $p$ tel que toute matrice $M$ de $G$ vérifie $M^p = I_n$.