1. Montrer l'existence et l'unicité d'un $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que pour tout $t \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ : $$P_n(\cot^2 t) = \frac{\sin((2n + 1)t)}{\sin^{2n+1} t}.$$
  2. Déterminer les racines de $P_n$, leur multiplicité et leur somme.
  3. Établir que pour tout $t \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, $\sin t \leqslant t \leqslant \tan t$ et $\cot^2 t \leqslant \frac{1}{t^2} \leqslant 1 + \cot^2 t$.
  4. En déduire $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$.