Extraction diagonale dans \(\ell^\infty\)

Soit \(E = \ell^\infty(\mathbb{N},\mathbb{R})\) l’espace des suites réelles bornées muni de la norme \(\|(u_n)\|_\infty = \sup_n |u_n|\).
Soit \(\big(u^{(n)}\big)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite dans \(E\) telle que chaque \(u^{(n)} = (u^{(n)}_k)_{k\in\mathbb{N}}\) est à valeurs dans \([0,1]\).
Montrer qu’il existe une sous‑suite \(\big(u^{(\varphi(n))}\big)_{n\in\mathbb{N}}\) telle que, pour chaque coordonnée \(k\), la suite \(\big(u^{(\varphi(n))}_k\big)_{n}\) converge.
Y a‑t‑il convergence dans \(E\) ?