1. Soit $G$ un groupe et $g$ un élément de $G$. Soit $\varphi_g$ l'application de $G$ dans $G$ définie par $h \mapsto ghg^{-1}$. Montrer que $\varphi_g$ est un automorphisme de groupes. Si le groupe $G$ est commutatif, que vaut $\varphi_g$ ?
  2. Soit $\text{Aut}(G)$ l'ensemble des automorphismes de groupes de $G$. Montrer que $\text{Aut}(G)$ est un groupe pour $\circ$.
  3. Soit $\varphi : G \to \text{Aut}(G)$ dĂ©finie par $\varphi(g) = \varphi_g$. Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes. À quelle condition sur le centre $Z(G)$ de $G$ est-il injectif ?