Soit $a \in ]0, 1[$. Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x)$, $x \in \mathbb{R}$.
  1. VĂ©rifier que $D_f = \mathbb{R}$ et que $f$ est impaire.
  2. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
  3. Prouver que $f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
  4. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et préciser $f'(0)$.
  5. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.