On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ : $$u_n(x) = (-1)^n \ln\!\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right)$$
  1. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$.
  2. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$.
  3. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb{R}^+$.