Un théorÚme de Cayley : Soit $G$ un groupe fini. Pour tout $g \in G$, on note $L_g : G \to G$ l'application $h \mapsto gh$. Soit $L$ l'application $g \mapsto L_g$.
  1. Montrer que $L$ est un morphisme injectif de groupes de $G$ vers $\mathcal{S}_G$.
  2. En déduire que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe $\mathcal{S}_n$.
  3. Montrer que tout groupe fini est isomorphe Ă  un sous-groupe de $O_n(\mathbb{R})$ (et mĂȘme $SO_n(\mathbb{R})$) pour un certain $n \in \mathbb{N}^*$.