Homographies : Soit $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0\}$. Pour tout $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R})$, on considère l'application $\varphi_M$ : $$ \begin{cases} \varphi_M : \mathbb{H} \to \mathbb{H} \\ z \mapsto \frac{az + b}{cz + d} \end{cases} $$ Une telle application s'appelle une homographie. On note $G$ l'ensemble des homographies, i.e. $G = \{\varphi_M \mid M \in SL_2(\mathbb{R})\}$.

1. Soit $M \in SL_2(\mathbb{R})$. Montrer que l'application $\varphi_M$ est bien définie et vérifie $\varphi(MN) = \varphi_M \circ \varphi_N$ pour tous $M, N \in SL_2(\mathbb{R})$.
2. En déduire que $G$ est un groupe pour la composition $\circ$, que $M \mapsto \varphi_M$ est un morphisme de groupe. Montrer que $\varphi_M$ est bijective et donner une expression de sa réciproque.
3. Montrer que $G$ est engendré par les fonctions de la forme $z \mapsto -\frac{1}{z}$, $z \mapsto z + t$, $z \mapsto kz$ où $t \in \mathbb{R}$ et $k > 0$.
4. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ et $r_\theta = \varphi_{R_\theta}$. Montrer que l'application $\varphi : \mathbb{R} \to G$ donnée par $\theta \mapsto r_\theta$ est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau.