1. 1. Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$
   2. Prouver, en utilisant le théorème de dérivation terme à terme, que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1, 1[$ et préciser $S'(x)$.
   3. En déduire que $\forall x \in ]-1, 1[$, $S(x) = -\ln(1-x)$.

Soit $x \in ]-1, 1[$. On pose $f_x(\theta) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n \cos(n\theta)}{n}$, $\theta \in \mathbb{R}$.

2. Montrer que $f_x$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
3. Justifier que $f_x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f_x'(\theta)$.
4. Déduire de ce qui précède que $\forall \theta \in \mathbb{R}$ : $$f_x(\theta) = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta)$$
5. Déduire de ce qui précède la valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi} \ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta)\,d\theta$.