Nombres parfaits pairs : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $S(n)$ la somme des diviseurs dans $\mathbb{N}^*$ de $n$. Un nombre est parfait si $S(n) = 2n$.
  1. Montrer que $S$ est multiplicative, i.e. si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors $S(mn) = S(m)S(n)$.
  2. Soit $p \in \mathbb{N}$ tel que $2^p - 1$ est premier. Montrer que $2^{p-1}(2^p - 1)$ est parfait (théorème d'Euclide).
  3. Soit $n$ parfait et pair. Montrer que $n$ s'écrit $n = 2^{p-1}(2^p - 1)$ où $(2^p - 1)$ est premier (théorème d'Euler).