Exercice 11 (**)
Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie, donc la dimension est notée $ n $. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $.
On suppose que $ f $ est nilpotent, ce qui signifie qu'il existe un entier $ k $ tel que $ f^k $ soit l'endomorphisme nul de $ E $.
L'indice de nilpotence de $ f $ est l'entier \[ p = \min \{k \in \mathbb{N} ; f^k = 0\} \]
  1. On prend $ x_0 $ dans $ E \setminus \text{Ker}(f^{p-1}) $. Montrer que la famille \[ \mathcal{F}_{x_0} = (f^{p-1}(x_0), \dots, f(x_0), x_0) \] est linéairement indépendante.
  2. En déduire une inégalité entre $ p $ et $ n $.
  3. Dans cette question, on suppose que $ p $ est Ă©gal Ă  $ n $. En choisissant $ x_0 $ comme Ă  la question a, la famille $ \mathcal{F}_{x_0} $ est alors une base de $ E $.
    Écrire la matrice reprĂ©sentative de $ f $ relative Ă  cette base.