Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $~A~$ la matrice d'ordre $n$ définie par: \begin{cases} a_{i,1}&=1 \\ a_{n,j}&=1 \text{ si } \\ a_{i,j}&=0 \quad \text{ si } j\ne 1 ~\text{ et }~ i\ne n \end{cases}
  1. Donner une base de $\text{Im}(A)$.
  2. Montrer que 0 est valeur propre de $~A$. Calculer la dimension et une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
  3. Montrer que $~A~$ n'est pas diagonalisable.