Parties fermées dans un espace de fonctions
On munit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ de la norme infinie.- Montrer que $ A = \{ f \in E \mid f(0) = 1 \} $ est une partie fermée de $ E $.
- Montrer que $ B = \{ f \in E \mid f \text{ est injective} \} $ n'est pas une partie fermée de $ E $.
Indication : Considérer la suite $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} $ définie par : $ \forall x \in [0,1], f_{n}(x) = \frac{1}{n}x $.