Continuité du produit de polynômes

L’application: \begin{align*} \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X]\\ (P,Q) &\longmapsto PQ \end{align*} est‑elle continue pour les normes :
\( P \mapsto \|P\|_{\infty,[0,1]} \quad \) (norme de la convergence uniforme sur \([0,1]\)) et
\( \sum_k a_k X^k \mapsto \max_k |a_k| \quad \) (norme des coefficients) ?