Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$

Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.