Une algèbre de Boole $A$ est un anneau tel que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$.
  1. Montrer que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ est une algèbre de Boole.
  2. Montrer que tout élément est son propre opposé.
  3. On suppose que $A$ est une algèbre de Boole intègre. Montrer que $A$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en tant qu'algèbre.
  4. Montrer qu'une algèbre de Boole est naturellement munie d'une structure de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espace vectoriel. En déduire le cardinal d'une algèbre de Boole finie.
  5. Déterminer le nombre d'idéaux d'une algèbre de Boole finie.