Fonction BĂȘta

Soit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). On pose

\[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt. \]
  1. Montrer que \(B(x,y)\) existe si et seulement si \(x>0\) et \(y>0\).
  2. Calculer \(B\left(\frac12,\frac12\right)\).
  3. Montrer que \(B(x,y)=B(y,x)\) et que \(B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y)\).