Une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est une matrice triangulaire supérieure de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.
  1. Soit $ A $ une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que $ A^n $ est la matrice nulle.
  2. (***) Réciproquement, montrer que toute matrice nilpotente de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte (raisonner par récurrence sur $ n $).
  3. Retrouver le résultat de la question b de l'exercice précédent.