Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent.

  1. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converge et que \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n} + \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n+1} \]
  2. Application : Existence et calcul de \[ \sum_{n=0}^{+\infty} (3 + (-1)^n)^n \]