Comparaison de normes sur \(\mathcal{C}(I,\mathbb{R})\)

1. L'application \( f \mapsto \displaystyle\int_I |f| \) est‑elle une norme sur \( E \) ?
2. Déterminer deux constantes \( c_1, c_2 > 0 \) telles que, pour toute \( f \in E \), \[ \|f\|_1 \le c_1 \|f\|_2 \quad \text{et} \quad \|f\|_2 \le c_2 \|f\|_\infty. \]
3. Déterminer une suite de fonctions \((f_n)\) de \(E\) telle que \(\|f_n\|_1 \to 0\) et \(\|f_n\|_\infty \to +\infty\).
4. Déterminer une suite de fonctions \((f_n)\) de \(E\) telle que \(\|f_n\|_2 \to 0\) et \(\|f_n\|_\infty \to +\infty\).
5. Déterminer une suite de fonctions \((f_n)\) de \(E\) telle que \(\|f_n\|_1 \to 0\) et \(\|f_n\|_2 \to +\infty\).
6. Déterminer une suite de fonctions \((f_n)\) de \(E\) telle que \(\|f_n\|_1 \to 0\) mais \((f_n(x))_n\) ne converge pour aucun \( x \in I \).