Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$, $x \in \mathbb{R}$.
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
  2. Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.