Intégrabilité et limites.

Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que \(~f^2~\) et \(~f'^2~\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_+\).

1. Prouver que \(~f f'~\) est intégrable sur \(~\mathbb{R}_+~\).
2. Montrer que: \[\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac12 (f(x)^2 - f(0)^2) = \int_0^{+\infty} f(t) f'(t)\,dt\]
3. Prouver finalement que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0\).