Ouverts selon les normes
Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ et $ A = \{ f \in E \mid f(0) > 0 \} $.
- Montrer que $ A $ est un ouvert de l'evn $ (E, \|\cdot\|_{\infty}) $.
- Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on note :
\begin{align*}
g_{n} : [0,1] &\longrightarrow \mathbb{R}\\
x &\longmapsto 1 - e^{-nx}
\end{align*}
et
\begin{align*}
g : [0,1] &\longrightarrow \mathbb{R}\\
x &\longmapsto 1
\end{align*}
Calculer $ \|g_{n} - g\|_{1} $.
En déduire que $ A $ n'est pas un ouvert de l'evn $ (E, \|\cdot\|_{1}) $.