Soit $u_n(x) = \dfrac{x}{n(1+nx^2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $x \in \mathbb{R}$.
    1. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. On note $f$ sa somme.
    2. VĂ©rifier que $f$ est impaire et continue sur $\mathbb{R}$.
  2. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.
    1. Soit $N \in \mathbb{N}^*$. VĂ©rifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{f(x) - f(0)}{x} \geq \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(1+nx^2)}$$
    2. En déduire, en raisonnant par l'absurde, que $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$.